\documentstyle[12pt,german,arbeito,fleqn]{report}
\nofiles
\pagestyle{abikopf}

%Beispiel f"ur die Benutzung
%der Datei arbeit.sty
%Erstellt von Werner Burkhardt
%             Carl-Benz-Schule Mannheim
%             Neckarpromenade 23
%             6800 Mannheim 1

%Um in den vier nachfolgenden Zeilen eine "Anderung vorzunehmen mu"s nur der
%Inhalte der geschweiften Klammern ver"andert werden.

\setlength{\mathindent}{0pt}

\Klasse{TEST}
\Nummer{XX.}
\Fach{M}
\Datum{11.11.1111}


\begin{document}

\aufgabe{\bf 1. }
        { Gegeben sind die komplexen Zahlen $z_1=3-2i\, , \,z_2=-3+5i
          \, , \ , z_3=e^{\displaystyle -1 +\pi i}$ und
          $z_4=e^{\displaystyle 1 +\frac{\pi}{4} i}$ }{}
\aufgabe{\bf 1.1.}
        {Geben Sie die Eulersche Darstellung von $z_1$ und $ z_2$ , sowie
         die kartesische Darstellung von $z_3$ und $z_4$ an.}{\large 4}
\aufgabe{\bf 1.2.}
        {Berechnen Sie:
         \raisebox{1mm}{
         \parbox{5.8cm}{\[z_3^4 \quad , \quad \frac{z_1 \cdot z_2}{z_3^2} \quad , \quad
         \left( z_4 \frac{z_1^3}{z_3 \cdot z_2} \right) ^5 \]}}.

         Die Ergebnisse sind in der Eulerschen Darstellung
         anzugeben.}{\raisebox{0.5cm}{\large 8}}

\aufgabe{\bf 2.}
        {Zur Kopplung zweier aufeinanderfolgender Stufen eines
        NF-Verst"arkers verwendet man h"aufig eine Serienschaltung eines
        Kondensators und eines ohmschen Widerstandes. Von der
        vorhergehenden Verst"arkerstufe wird die Wechselspannung $U(t)$
        geliefert. Die Teilspannung $U_\Omega (t)$ wird an die
        nachfolgende Stufe weitergegeben.}{}

\aufgabe{\bf 2.1}
        {Fertigen Sie ein Zeigerdiagramm an, das die Zeiger $I(t) \, ,
        \, U_C(t) \, ,\, U_\Omega(t) $ und $U(t)$ enth"alt! Beginnen Sie
        dabei mit $I(t)$. Tragen Sie dann die Zeiger f"ur $U_\Omega(t)$
        und $U_C(t)$ unter Ber"ucksichtigung der Phasenverschiebung ein
        und konstruieren Sie zuletzt $U(t)$!}
        {\large 3}

\aufgabe{\bf 2.2}
        { Berechnen Sie den komplexen Gesamtwiderstand der
        Serienschaltung von $R_\Omega$ und $R_C$, wenn $\omega$ die
        Kreisfrequenz ist!}
        {\large 2}

\aufgabe{\bf 2.3}
        { Berechnen Sie $|R|$. }{\large 2}

\aufgabe{\bf 2.4}
        {Dr"ucken Sie $\tan \delta$ durch $R_\Omega \, , \, C$ und
        $\omega$ aus. }{\large 2}

\aufgabe{\bf 2.5}
        {Es sei
         \raisebox{-6mm}{
         \parbox[b]{6.8cm}{\[ R_\Omega=10^3\Omega \, ,\, C=10^{-5} \frac{As}{V} \mbox{ und }
          \omega=10^2s^{-1}.\]}}
         Die Scheitelspannung der Wechselspannung $U(t)$ sei $1V$.
         Berechnen Sie die Scheitelspannung von $U_\Omega(t)$! Geben Sie
         au"serdem $\delta $ an!}{\raisebox{0.5cm}{\large 4}}

\aufgabe{\bf 3.}
        {Stellen Sie die Schwingung mit $f(t)=\cos t + 2 \sin \left( t +
        \frac{\pi}{6} \right )$ durch eine reine Sinusschwingung dar! Fertigen
        Sie zun"achst ein geeignetes Zeigerdiagramm an, und bestimmen Sie
        dann die Amplitude und die Phasenverschiebung der reinen
        Sinusschwingung!}{\large 6}

\aufgabe{\bf 4.}
        {In der Physik zeigt man, da"s man einen idealen Schwingkreis
        durch die Differentialgleichung
         \raisebox{-6mm}{
         \parbox[b]{2.8cm}{ \[ L\ddot{Q}(t) + \frac{Q(t)}{C}= 0\]}}
        und durch die Differentialgleichung
         \raisebox{-6mm}{
         \parbox[b]{4.4cm}{
           \[ L\ddot{Q}(t) + R\dot{Q}(t) + \frac{Q(t)}{C}= 0\]}}
        einen realen Schwingkreis beschreiben kann.}{}

\aufgabe{\bf 4.1}
        {Bestimmen Sie mit Hilfe des L"osungsansatzes $Q(t)=Q_0
        e^{i\omega t}$ die Kreisfrequenz $\omega_0$ des idealen und die
        Kreisfrequenz $\omega_1$ des realen Schwingkreises. }{\large 8}

\aufgabe{\bf 4.2}
        {Vergleichen Sie die Kreisfrequenzen $\omega_0$ und $\omega_1$
        der beiden Schwingkreise! }{\large 2}
\punktesumme {\large 41}

\end{document}
